0 前言

　　杯形諧波減速器依靠薄壁柔輪的彈性變形來進行傳動，具有傳動比大、體積小等優點，在各種機器人及精密機械傳動等方面具有廣泛的應用，而且在宇航空間機構中也得到越來越多的應用。如果能夠進一步減小諧波減速器的體積，那么宇航空間機構中傳動機構的體積也將減小，從而降低整個宇航空間機構的體積和質量。

　　為了滿足空間環境、機器人、伺服控制系統等對諧波減速器中柔輪軸向尺寸小的要求，日本、美國和俄羅斯等國展開了研究，并取得了相應的成果。我國的諧波傳動技術與國外相比還有一定的差距，特別在短杯諧波的研制和在空間機構環境中的應用方面差距更大，短杯柔輪的諧波減速器目前處于研發階段，未見有產品應用的實例。

　　決定杯形諧波減速器壽命的核心部件是薄壁柔輪，JOHN減小杯形諧波減速器的體積也主要是通過縮短柔輪的長度來實現，因此，研究柔輪的關鍵結構參數對柔輪的應力影響規律是對柔輪結構進行優化設計和改進的重要前提條件，同時也是綜合分析柔輪應力的基礎;在不同的溫度下分析柔輪的熱和結構耦合應力，確定諧波傳動能夠承受的環境溫度，可為杯形諧波傳動應用于宇航空間機構提供依據。

　　預期通過基于ANSYS的杯形柔輪結構參數對柔輪應力的敏感度分析，確定短杯柔輪各主要的參數的取值范圍，然后利用優化設計得到短杯柔輪的結構參數，按照該參數加工出一套短杯諧波減速器，對其性能進行試驗測試，并將試驗結果與正常杯形的諧波減速器進行比較，期望得到町用于實際工況的短杯諧波減速器。因此，分析柔輪關鍵結構參數對柔輪應力的影響以及熱與結構耦合情況下柔輪的接觸應力分析具有重要意義。

　　1 柔輪與波發生器參數化等效接觸模型

　　1.1參數化等效接觸模型的開發

　　如果對不同型號的柔輪與波發生器進行有限元接觸分析，以及改變柔輪關鍵結構參數對柔輪最大等效應力的影響分析，總共需要計算分析幾十次。如果每分析一次就建立一個新模型進行單元類型定義、網格劃分、施加約束和載荷，最后進行分析，那么分析的工作量是不可想象的。因此，有必要對柔輪和波發生器的接觸模型進行參數化建模，并自動完成網格劃分和分析。

　　如果建立的接觸模型是帶有輪齒的，那么網格劃分、計算的工作量也是很大的，因此，需要對柔輪的輪齒部分的壁厚進行等效處理。對于柔輪輪齒部分壁厚的等效處理方法是，采用將輪齒部分簡化為具有一定厚度的光滑圓環來代替輪齒部分的壁厚。齒圈壁厚處的抗彎剛度約為齒根處光滑環處的1.67倍。因為齒圈壁厚處的抗彎剛度與壁厚的三次方成正比，所以，可以對齒圈壁厚進行等效，等效后的齒圈壁厚應為齒根處光滑環壁厚的倍。柔輪在靜載時屬于空間對稱和載荷對稱情況，所以可以針對柔輪的四分之一模型進行分析，節約了計算時間。

　　等效處理后，柔輪所受的最大應力稱為柔輪最大等效應力，柔輪光滑圓筒所受最大應力稱為柔輪光滑圓筒部分最大等效應力。

　　進行有限元建模時，采用自底向頂的建模方式，這種方法是指創建模型時首先通過最低級圖元關鍵點來創建高級圖元線，再由線創建面，由面創建體的一種建模方法，這種方法的最大好處就是模型比較容易實現參數化。通過這種建模方法實現了四分之一柔輪和波發生器等效接觸模型的參數化，并使用ANSYS的APDL語言編寫了柔輪與波發生器參數化等效接觸模型的程序。

　　為提高計算速度，在建立ANSYS的柔輪與橢圓凸輪的接觸分析模型時，通用的做法是忽略柔性薄壁軸承的影響，將波發生器看作剛體，用一個與波發生器輪廓線和軸向長度相同的剛性柱面來代替。波發生器采用橢圓波發生器形式，屬雙波傳動，柔輪與波發生器的接觸結構圖如圖l所示。

　　 

　　圖1 柔輪與波發生器的接觸結構圖

　　對四分之一柔輪與波發生器的等效接觸模型施加約束和載荷;對波發生器的內孔和柔輪的后端圓孔施加固定約束，波發生器與柔輪的四分之一兩截面施加對稱約束。安裝波發生器與柔輪時，保證準確的過盈量，波發生器的長軸為，短軸為。其中以為柔輪內徑，為徑向變形系數，取值為l，m為柔輪模數，柔輪與波發生器的等效接觸模型如圖2所示。

　　 

　　圖2 柔輪與波發生器的等效接觸模型圖

　　考慮到柔輪和波發生器作用的復雜性，很難確認作用時力的分布，也很難確認柔輪內壁位移分布，因此考慮使用接觸分析。柔輪和波發生器接觸時，將柔輪和波發生器的裝配模型視作一個“剛體一柔體”的“面一面”接觸模型。波發生器作為目標面，單元類型選用Targel70，柔輪內壁作為柔性接觸面，單元選用Contactl74。柔輪的最大徑向變形與柔輪壁厚比大于0.2，是一個大變形非線性問題，因此求解選項設置為大變形結構分析。為了提高分析精度，防止出現不收斂，打開自動載荷步選項，并設置載荷步為4，最大載荷步為20，最小為1。圖3為通過參數化界面輸入參數之后生成的32機型的柔輪與波發生器等效接觸模型的模型圖、網格圖、等效應力云圖和變形云圖。

　　 

　　圖3 柔輪與波發生器的等效接觸模型圖、網格劃分圖、應力云圖和變形云圖

　　1.2參數化等效接觸模型的驗證

　　按照上述的基本參數計算完成之后，在PRO/E中建立了與圖4所示32機型諧波減速器具有相同參數、但是帶有輪齒的模型，然后導入ANSYS軟件中，按照前述方法進行了單元類型和材料屬性定義、網格的劃分、約束載荷和接觸對的創建，最后進行設置求解。分析完成的等效應力云圖和變形云圖如圖4所示。

　　 

　　圖4 柔輪與波發生器接觸模型的應力云圖和變形云圖

　　通過帶有輪齒的模型和等效接觸模型的分析結果可見，在沒有對輪齒進行等效處理時柔輪的最大變形和最大等效應力分別是0.233 666 113/11和319.241 MPa;等效接觸模型的柔輪的變形和應力分別是0.252 757 mm和325.200 MPa。相對誤差較小，而且變形云圖和應力云圖的分布也極其類似，從而驗證了柔輪與橢圓波發生器參數化等效接觸模型的準確性。

　　通過上述分析可以看出，柔輪的最大應力出現在長軸附近齒寬中間的偏后側，并且柔輪所受的應力趨勢呈現近似45°斜向擴展。這與早期的柔輪疲勞斷裂的試驗結論是基本一致的。

　　1.3不同型號柔輪與波發生器作用的接觸分析

　　柔輪的受力模型基于彈性薄殼理論，處在一種交變應力狀態下，所受的應力為周向正應力，軸向正應力，切應力。軸向正應力相對周向正應力較小，可以忽略不計，則柔輪處在由彎矩引起的周向正應力和切應力的共同作用下，所以可以使用第三強度理論進行計算。

　　利用第三強度理論和前面建立的柔輪與波發生器的等效接觸模型，對常規25～60機形的杯形柔輪(25～60型號的杯形諧波減速器，其結構形式是一樣的，只是其結構尺寸不同，其型號的定義主要是根據柔性軸承的外徑，即柔輪的內徑確定的，如柔性軸承的外徑為40 mm，那么就叫做40型號杯形諧波減速器)進行理論經驗公式計算和有限元分析，得到的理論計算結果和有限元分析結果如下表所示。

　　表1 不同型號柔輪的最大應力

　　 

　　通過對理論經驗公式和有限元分析計算的比較，可以看出以下幾點。

　　(1)有限元的分析結果高于理論經驗公式計算結果，這是因為理論經驗公式做了各種假設和簡化，并且使用修正系數進行修正。數據分析結果表明，有限元分析結果的曲線變化規律與理論計算結果的變化規律基本一致，即有限元的分析結論可信。

　　(2)隨著杯形諧波柔輪型號的增加，柔輪所受的最大應力逐漸降低，壽命逐漸加長，即小型號的諧波減速器的壽命相對較低。所以在選用諧波型號的時候，如果結構尺寸允許，選擇型號相對較大的諧波減速器能保證較長的壽命。

　　2 柔輪關鍵結構參數對柔輪應力的敏感度分析

　　為進行柔輪幾何參數的優化設計，應首先了解柔輪各個幾何參數對柔輪工作性能的影響，根據柔輪結構特點和參數取值范圍，選擇了對柔輪工作性能最有影響的幾個參數進行分析，這些參數主要包括圖1所示的柔輪筒長l，、齒圈壁厚、光滑圓筒壁厚、齒寬b、柔輪圓角半徑

。本文以32機型為例使用自行編制的柔輪與波發生器等效接觸模型的參數化程序分析各個參數對柔輪應力的敏感度。最主要的是柔輪各個關鍵結構參數對發生在柔輪齒圈處的最大等效應力的影響，光滑圓筒部分雖不是最大等效應力產生之處，但它也是柔輪容易發生破壞之處，另外，為了進一步與齒圈處最大等效應力形成對比，本文也給出了光滑圓筒部分最大等效應力隨柔輪關鍵結構參數的變化曲線圖。

　　2.1筒長l對柔輪應力的影響

　　筒長，是柔輪最為關鍵的結構參數，對柔輪應力影響也較為明顯。本文確定32機型柔輪筒長的分析范圍是11～35 mm，單獨改變柔輪簡長，分析結果的擬和曲線如圖5所示。由圖5可見，隨著柔輪筒長的增大，柔輪的最大等效應力呈顯著下降趨勢，柔輪筒長在11～20 mm區間內，也就是長徑比在0.35～0.60區間，最大等效應力急劇下降;在輪筒長為20～25 mm區間時，也就是長徑比為0.6～0.8區間，最大等效應力下降趨勢漸緩;在大于25 mm之后，也就是長徑比大于0.8以后，最大等效應力下降趨勢更緩，并逐漸趨近一個恒定值。還可以看出，光滑圓筒部分的最大等效應力與齒圈部分最大等效應力具有相似的趨勢。

　　 

　　圖5柔輪筒長對柔輪應力影響曲線

　　2.2齒圈壁厚對柔輪應力的影響

　　確定32機型柔輪的齒圈壁厚的分析范圍是0.25～0.70 mm，單獨改變齒圈壁厚，分析結果的擬和曲線如圖6所示。由圖6可見，柔輪齒圈壁厚增大時，柔輪最大等效應力先減少后增大，從0.25～0.40 mm是減小趨勢，之后開始增加，但趨勢并不是很急劇。而光滑圓筒部分的最大等效應力則幾乎成直線增加的趨勢。

　　 

　　圖6 柔輪齒圈壁厚對柔輪應力影響曲線

　　2.3光滑圓筒壁厚6對柔輪應力影響

　　確定32機型柔輪的光滑圓筒壁厚的分析范圍是0.1～0.4 mm，單獨改變光滑圓筒壁厚，分析結果的擬和曲線如圖7所示。

　　 

　　圖7 柔輪光滑圓筒壁厚對柔輪應力影響曲線

　　由圖7可見，隨著光滑圓筒壁厚的增加，柔輪的最大等效應力呈先減少后又增大的趨勢，但曲線并不是很平滑。而光滑圓筒部分的等效應力則呈逐漸下降的趨勢，曲線比較平滑。

　　2.4齒圈寬度b對柔輪應力的影響

　　32機型柔輪的齒寬的分析范圍確定為5～11 mm，單獨改變齒寬，分析結果的擬和曲線如圖8所示。由圖8可見，齒寬對柔輪最大等效應力的影響是先下降后又逐漸增加趨勢，但是影響程度并不是很劇烈，而光滑圓筒部分的等效應力則隨著齒寬的增加呈急劇下降的趨勢，到10 mm之后又有所回升，并且曲線較為平滑。這主要是因為在筒長不變的情況下，齒寬增大，相當于減小光滑圓筒部分的長度，即增大了光滑圓筒部分的剛度，所以光滑圓筒部分的最大應力隨齒寬的增大而減小。

　　2.5圓角半徑對柔輪應力的影響

　　確定32機型柔輪的圓角半徑的分析范圍為0.25～2.50 mm，的分析范圍為0.15～3.00 mm，的分析范圍為0.15～2.50 mm。分析結果的擬合曲線如圖9所示。

　　

　　 

　　圖9圓角半徑對柔輪應力影響曲線

　　通過比較圓角半徑對柔輪最大等效應力和柔輪光滑圓筒部分最大等效應力的影響，可以看出三處圓角的變化對柔輪最大等效應力的影響不大，而三處圓角變化對光滑圓筒部分最大等效應力的影響相對較大，對其影響趨勢是先增加后減少的趨勢;對其呈遞增趨勢影響;除了不能小于0.25外，對其整體影響呈較為平滑趨勢。但對光滑圓筒部分等效應力的影響相對于柔輪最大等效應力來說要小很多。

　　總結32機型柔輪關鍵結構參數對柔輪齒圈部分和光滑圓筒部分所受的最大應力的分析結果，可以得出以下結論。

　　(1)柔輪的結構參數中，柔輪的筒長對柔輪的應力影響最為明顯，但從長徑比為0.6開始應力的變化開始變得特別平緩。

　　(2)柔輪齒圈壁厚和柔輪的光滑圓筒壁厚對柔輪的最大應力的影響趨勢都不具有單調性，呈現出先減少后增加的趨勢。

　　(3)柔輪的圓角半徑不能小于0.25，否則會造成圓筒部分的應力集中。柔輪齒寬的變化對柔輪最大應力和光滑圓筒最大應力的影響呈相反趨勢。

　　(4)柔輪的筒長、齒圈壁厚、光滑圓筒壁厚、齒圈寬度對柔輪的應力影響較為明顯，敏感度較高，而三處的圓角除不能小于0.25之外，整體來說這三個參數對柔輪應力影響不大。

　　對25～60型號的杯形諧波減速器也按照上述過程進行了分析，得到類似的結果。

　　3 柔輪熱與結構耦合的有限元分析

　　當杯形諧波減速器用于宇航空間機構時，由于環境溫度的變化，使得諧波減速器工作在高低溫環境中。因此，對柔輪進行不同溫度條件下的熱與結構耦合分析，可以為柔輪在高低溫環境下的失效提供一定的依據。

　　在熱與結構耦合的情況下對柔輪進行有限元接觸分析涉及到柔輪與剛輪的接觸問題。由于柔輪與剛輪的齒數較多，而齒也很小，平均參與嚙合的齒數約為總齒數的30%～40%。如果每個接觸的齒都建立接觸對，那么其計算量是不可想象的。所以需要對柔輪與剛輪的接觸模型進行簡化。常規齒輪的輪齒進行接觸的時候是在節圓處進行嚙合的。柔輪受波發生器作用后完全嚙合的輪齒應該剛好在節圓處嚙合。所以本文把剛輪與柔輪的輪齒簡化掉，柔輪與剛輪的間隙剛好是柔輪受到波發生器作用后，柔輪所伸長的最大距離。簡化之后建立模型，然后分別定義柔輪、剛輪與波發生器的線膨脹系數與熱導率。最后施加不同的溫度載荷進行多次接觸分析。溫度為100℃情況下32機型諧波減速器柔輪、波發生器、剛輪三大件共同作用時的應力云圖與變形云圖如圖10所示。

　　 

　　圖10 三大件共同作用時的應力和變形云圖

　　在溫度區間為-60～120℃情況下對32機型杯形諧波減速器的三大件進行有限元接觸分析，分析結果如圖11所示。

　　 

　　圖11 柔輪最大應力隨溫度的變化曲線

　　通過曲線可以看出以下幾點。

　　(1)當溫度從-60～120℃變化的過程中，在溫度區間-60～0℃內，柔輪所受的應力基本上沒有變化：從0℃開始，隨著溫度的增加，應力急劇增加。可以看出高溫對柔輪的應力影響特別明顯。

　　(2)按照目前柔輪的常用材料，以合金鋼35CrMnSiA和40CrNiMoA來說，經過熱處理以后材料的屈服強度能夠達到960 MPa左右，如果取安全系數為1.5，則材料的需用應力為640 MPa，那么對于32杯形的柔輪來說，工作溫度應該不宜超過120℃。

　　4 結論

　　(1)使用有限元軟件ANSYS的APDL語言開發了柔輪與波發生器的參數化等效接觸模型，將模型的分析值與經驗理論公式計算值進行了比較，從而驗證了柔輪與橢圓波發生器的參數化等效接觸模型的準確性。利用等效模型分析了25～60機型5個不同型號的柔輪在波發生的作用下所受到的應力，描述了柔輪的最大等效應力隨柔輪型號的變化規律。

　　(2)以32杯形柔輪為例進行了有限元接觸分析，分析了柔輪的關鍵結構參數對柔輪應力的影響敏感度，為柔輪的結構參數優化設計提供了一定的依據。

　　(3)在熱和結構耦合的情況下對柔輪與剛輪的接觸模型進行了簡化，以32杯形諧波減速器為例進行了接觸分析，給出了柔輪最大應力隨溫度的變化曲線。為研究柔輪在高低溫環境下的失效提供了一定的依據。