本文探討研究了模糊控制系統的結構與穩定性相關內容。

　　采用經典控制理論中成熟的解析方法分析和設計模 糊控制系統是發展模糊控制理論的一條重要途徑。系統地綜述和討論了其中兩個主要方向， 即模糊控制器的解析結構和模糊控制系統的穩定性分析的最新研究成果，并對今后的研究工作進行了展望。

　　關鍵詞：模糊控制器，模糊控制系統，解析結構，穩定性分析

　　分類號：TP 18

　　Analytical Fuzzy Control Theory: Structure and Stability Analysis of Fuzzy Control Systems

　　Ding Yongsheng

　　(East China University)

　　Ying Hao

　　(The University of Texas Medical Branch)

　　Ren Lihong　Shao Shihuang

　　(East China University)

　　Abstract：Analysis and design of fuzzy control systems usi ng the mature analytical methods in classical control theory is an important way to develop fuzzy control theory. Recent research results of analytical analysis on structures of fuzzy controllers and stability of fuzzy control systems are o verviewed and discusse d systematically. The directions for future research are provided.

　　Key words：fuzzy controllers, fuzzy control systems, analy tical structure, stability analysis▲

　　1　引　言

　　模糊系統技術具有語詞計算和處理不精確性、不確定性和模糊信息的能力，近年來已被證明是解決許多實際復雜建模和控制問題的一種有效方法。但是，目前許多模糊系統仍采用黑箱方法，這是因為其結構的復雜性已成為傳統數學分析的主要障礙。這種黑箱方法與經典控制理論中廣泛采用的基于解析技術的設計方法有很大不同，它既不能提供對模糊系統的解析洞察，也不能對系統特性和性能進行有效的數學分析。這種缺陷會給其在許多領域的控制問題應用帶來不實際性和不安全性。

　　為了發展模糊控制理論并讓其具有堅實的理論基礎，解析方法已引起許多學者的重視。基于解析方法，經典系統理論中許多成熟的方法能用于模糊系統的某些分析和設計。模糊控制器的解析結構分析和模糊控制系統的穩定性分析是其中兩個主要方向。本文將系統地綜述這兩個方向的最新研究成果，并對今后的研究工作進行展望。

　　2　模糊控制系統組成

　　模糊控制器一般包括5部分：1)模糊化接口：將真實的確定量通過隸屬函數轉換成模糊量;2)數據庫：用于存放輸入和輸出變量全部模糊子集的隸屬函數;3)模糊規則集：以IF-THEN控制規則形式給出的信息，根據模糊規則形式，模糊控制器主要可分為Mamdani和Takagi- Sugeno(TS)兩類;4)模糊推理機構：基于模糊規則，采用模糊邏輯操作和推理方法而獲得模糊輸出;5)解模糊接口：用于將模糊輸出轉換成系統的數值輸出。

　　根據輸入和輸出變量的數目，可將模糊控制系統劃分為單變量和多變量模糊控制系統。絕大多數模糊系統都是復雜的非線性系統，其輸入和輸出之間的非線性是由模糊控制器的上述各個組成部分引起的。

　　3　模糊控制器的結構分析

　　根據常規控制理論解析分析模糊控制器的結構，是發展模糊控制技術的一條重要途徑。這對于模糊控制器的實際應用具有一定的指導意義，因為模糊控制技術中許多重要而難度較大的方面(如分析、設計、穩定性和魯棒性)，可用(非線性)控制理論中現有的數學技術有效地加以研究。目前，許多學者已很好地分析了 Mamdani模糊控制器和TS模糊控制器，包括一些較復雜的模糊控制器的解析結構。我們從以下幾方面來展開討論。

　　3.1　模糊控制器是非線性PID控制器

　　線性離散PID的表達式為

(1)

　　許多模糊控制器都能表示成(1)式的形式，只是控制器的增益隨其輸入的變化而變化，因此說，模糊控制器是非線性PID控制器。Ying[1]最先提出模糊PID控制器的解析結構，并證明了采用兩個線性輸入模糊集、四條模糊規則、Zadeh模糊邏輯AND和OR操作及重心解模糊器的最簡單的 Mamdani模糊控制器是非線性PI控制器;接著又進一步將其結果推廣到采用其它推理方法(如Mamdani最小、Larsen乘積、drastic乘積和有界乘積等)的各類Mamdani模糊控制器[2]。更復雜的情況是采用兩個輸入變量、多個對稱或非對稱的三角形輸入模糊集、線性控制規則、均勻分布的獨點輸出模糊集、不同推理方法和重心解模糊器的Mamdani模糊控制器，已被證明是一個全局的兩維多值繼電控制器和一個局部的非線性PI控制器之和[3，4]。這些結果被一般化到采用非線性控制規則的單輸入單輸出[5]和兩輸入兩輸出模糊控制器[6]。其它一些類似的結果見文獻[7-10]。

　　人們已研究了基本Mamdani模糊控制器的各種擴展設計及其結構分析，證明了模糊PID[11-13]、模糊PI+D[14]、模糊PD+I[15]、串行模糊PI+PD[16]、并行模糊PI+PD[17]和模糊(PI+D)2[18]控制器都是非線性PID控制器，并推導出其非線性增益的明晰表達式。另外，一種基于開-關控制技術的時變模糊控制器的結構與非線性PD控制器解析地聯系起來，并證明它是一種帶有非線性控制偏量的非線性PD控制器[19]。

　　最近，我們開始討論TS模糊控制器的解析結構，將一種簡單的2×2模糊規則集結構用于分析一類TS模糊PI(或PD)控制器的非線性[20]。推導了TS模糊PI(或PD)控制器增益的明晰表達式，并研究了其增益變化的范圍和幾何形狀等特性。TS模糊PI(或PD)控制器實際上是一種非線性 PI(或PD)控制器。上述簡單的TS模糊PI(或PD)控制器結構的解析結果還被推廣到更典型和復雜的各類TS模糊控制器[21-23]。這些TS模糊控制器由三個或多個梯形(或任意)輸入模糊集、帶有線性后項的TS模糊規則、Zadeh模糊邏輯AND操作和重心解模糊器構成。

　　模糊控制器與線性PID控制器相聯系的解析結構，一方面揭示了模糊控制器在非線性、時變和純滯后等系統的應用中比線性PID控制器優越的機理，同時也提供了根據它們之間的增益關系來解析設計模糊控制系統并確保其穩定性的一種方法。

　　3.2　模糊控制器作為滑模變結構控制器

　　對于一大類非線性系統，模糊控制器是由與狀態x(n)和(n)相對應的偏差e(n)和偏差變化率(n)確定的相平面來設計的。對于二維模糊控制器，一般設計方法是通過一個開關線將相平面劃分為兩個半平面。其開關函數定義為

(2)

　　二維控制規則集的零對角線上的控制輸入為零。在工作原理上，模糊控制器類似于滑模變結構控制器[10，24-28]。Wu和Liu將模糊控制表示成一類變結構控制，滑模用于確定模糊控制規則中的最好參數值[29]。若采用變結構類型的規則集，則模糊控制器具有語義和定量兩方面的變結構特性，對于二維和三維模糊控制器，已推導出其具體的數學表達式[30]。與通常的滑模控制相比，模糊控制具有更強的魯棒性，且模糊控制器的變結構特性有助于人們設計魯棒穩定的模糊控制器。

　　3.3　模糊控制器是非線性增益規劃控制器

　　典型和復雜的各類TS模糊控制器，從結構上已被證明是非線性增益規劃器[20，21]。這些TS模糊控制器由多個梯形(或三角形)輸入模糊集、帶有線性后項的TS模糊規則、Zadeh模糊邏輯AND操作和重心解模糊器構成。與常規增益規劃器在不同操作點帶有不同常數增益的線性控制器不同的是：非線性增益規劃器的增益隨著被控系統的輸出而不斷變化。這些證明不僅彌補了以往一些學者對模糊控制器與增益控制器之間關系的簡單說明，而且從另一方面解釋了模糊控制器在處理非線性問題中的有效性。

　　3.4　模糊控制器與多值繼電控制器的關系

　　Kickert和Mamdani揭示了模糊控制器與多值繼電控制器的關系。一類簡單的模糊控制器，其輸入-輸出特性具有多值繼電特性，故可看作多值繼電控制器[31]。Ying[3]證明了采用兩個輸入變量、多個三角形輸入模糊集、線性控制規則、均勻分布的獨點輸出模糊集、不同推理方法和重心解模糊器的Mamdani模糊控制器，是一個全局的兩維多值繼電控制器和一個局部的非線性PI控制器之和[3]。這些結果被一般化到采用非均勻分布的多個三角形輸入模糊集的SISO、采用非線性控制規則的SISO和MIMOMamdani模糊控制器[4-6]。根據模糊控制器與多值繼電控制器的關系，可用經典控制理論中描述函數的方法來分析和設計模糊控制系統，并確保其穩定性。

　　3.5　模糊控制器的極限結構理論

　　一些學者注意到，當模糊控制規則的數目增加到足夠大時，對被控過程的影響很小甚至沒有影響，從而產生了模糊控制器的極限結構理論[32-34]。對于采用線性控制規則的一般模糊控制器，隨著控制規則數目的增加，其輸出變為輸入的線性函數[32]。特別是當控制規則的數目很大時，對于兩輸入的模糊控制器，其輸出近似等于線性PI控制器的輸出;對于三輸入的模糊控制器，其輸出近似等于線性PID控制器的輸出。這些結構被一般化到采用多狀態變量和多輸出模糊集的模糊控制器[33]。若采用任意函數f表達的非線性控制規則，模糊控制器的解析結構則是一個全局的依賴于f的非線性控制器和一個局部的非線性控制器之和，隨著控制規則的數目增加到∞，局部非線性控制器也將隨之消失[34]。若采用線性控制規則，則隨著控制規則的數目增加到∞，全局控制器將變成一個全局近似于線性控制器的多維多值繼電控制器[34]。這些結果對于任意模糊邏輯操作、推理方法和解模糊器都適用。極限結構理論說明了模糊控制器的模糊集和模糊規則的數目并非越多越有效，故在實際設計時，要根據具體問題合適地選擇模糊集和規則的數目。

　　3.6　MIMO模糊控制器的結構分解

　　工業過程中的許多被控對象都比較復雜，往往需要采用MIMO模糊控制器。一般MIMOMamdani模糊控制器，總能分解成一個僅由模糊規則確定的全局非線性控制器和一個由模糊控制器所有組成部分確定的局部非線性控制器之和[35]。另外，基于乘積-和-重心推理的N個變量的模糊系統可分解表達成N個單變量模糊子系統的加或乘[36]。

　　4　模糊控制系統的穩定性分析

　　通過對模糊控制系統的穩定性分析，能使設計者了解設計方法的所有步驟。由于模糊控制系統是復雜的非線性系統，且具有各種不同形式，使其穩定性分析較難。目前基于經典控制理論的模糊控制系統穩定性分析方法主要有以下幾種：

　　4.1　李亞普諾夫方法

　　基于李亞普諾夫直接方法，許多學者討論了離散時間和連續時間模糊控制系統的穩定性分析和設計[37-44]。其中，Tanaka和Sano將[43]中的基本穩定性條件推廣到SISO系統的(非)魯棒穩定性條件，穩定性判據變為從一組李亞普諾夫不等式中尋找一個共同的李亞普諾夫函數問題[44]，由于沒有一般的有效方法來解析地尋找一個公共李亞普諾夫函數，故Tanaka等人[43，44]都沒有提供尋找李亞普諾夫穩定性條件的公共矩陣P的方法。為解決這一問題，文獻[45-47]提出用線性矩陣不等式描述穩定性條件，還有一些學者用一組P矩陣代替文獻[43，44]中李亞普諾夫函數的一個公共矩陣P，構造一個逐段近似平滑的二次型李亞普諾夫函數，用于穩定性分析[37]。每一個矩陣P僅對應一個子系統，并表明當且僅當一組合適的Riccati等式有正定對稱解，且能得到這些解時，模糊控制系統才是全局穩定的。

　　使用李亞普諾夫線性化方法，Ying建立了包括非線性對象的TS模糊控制系統局部穩定性的必要和充分條件[23]。另外，一種在大系統中使用的向量李亞普諾夫直接方法，被用于推導多變量模糊系統的穩定性條件[48];李亞普諾夫第二方法被用于判別模糊系統量化因子選擇的穩定性[49];波波夫-李亞普諾夫方法被用于研究模糊控制系統的魯棒穩定性[50]。

　　但是，李亞普諾夫的一些穩定性條件通常比較保守，即當穩定性條件不滿足時，控制系統仍是穩定的。

　　4.2　基于滑模變結構系統的方法

　　由于模糊控制器是采用語義表達，系統設計中不易保證模糊控制系統的穩定性和魯棒性。而滑模控制有一個明顯的特點，即能處理控制系統的非線性，而且是魯棒控制。因此一些學者提出設計帶有模糊滑模表面的模糊控制器，從而能用李亞普諾夫理論來獲得閉環控制系統穩定性的證明[25，27，51-54]。Palm和Driankov采用滑模控制的概念分析了增益規劃的閉環模糊控制系統的穩定性和魯棒性[55]。另有一些學者用模糊推理來處理控制系統的非線性和減少控制震顫，使得基于李亞普諾夫方法可保證控制系統的穩定性[26]。

　　基于變結構系統理論，可以得到控制系統的跟蹤精度和模糊控制器的I/O模糊集映射形狀之間的關系，從而可以解釋模糊控制器的魯棒性和控制性能。文獻[24，56，57]研究了基于變結構控制框架的模糊控制系統的穩定性，通過輸出反饋的模糊變結構控制，并用李亞普諾夫方法證明了閉環控制系統是全局有界輸入有界輸出穩定的[58]。若使用變結構控制類型的模糊規則集，模糊控制器從語義和定量上可顯示出變結構的特性。為便于李亞普諾夫穩定性判據能指導設計和調整模糊控制器，文獻[30]推導出模糊控制器的具體數學表達式。

　　4.3　小增益理論方法

　　小增益理論是非線性控制理論中用于連續系統和離散系統的一個非常一般的工具。基于模糊控制器的解析結構，結合對象和模糊控制器的非線性本質，一些學者采用小增益理論，建立了Mamdani模糊PI[59]、PD[9]、PID[14]及一類簡單和典型的TS[20，21]模糊控制系統的有界輸入有界輸出(BIBO)穩定性的充分條件;并證明了用非線性模糊PI控制器替代常規PI控制器，不影響平衡點處的穩定性。因為這些穩定性的結果是基于控制器的結構，所以比那些模糊控制器解析結構未知的穩定性結果更具不保守性。

　　4.4　相平面分析方法

　　使用相平面分析技術有助于描述和理解低階模糊控制系統的動態行為，故相平面分析方法被用于分析一些模糊系統的穩定性[60-62]，但這種技術只限于二維規則結構的模糊系統。

　　4.5　描述函數方法

　　描述函數方法可用于預測極限環的存在、頻率、幅度和穩定性。通過建立模糊控制器與多值繼電控制器的關系，描述函數方法可用于分析模糊控制系統的穩定性[31]。另外，指數輸入的描述函數技術也能用于調查模糊控制系統的暫態響應[63]。雖然描述函數方法能用于SISO和MISO模糊控制器以及某些非線性對象模型，但不能用于三輸入及以上的模糊控制器。由于這種方法一般都用于非線性系統中確定周期振蕩的存在性，因此只是一種近似方法。

　　4.6　圓穩定性判據方法

　　圓判據可用于分析和再設計一個模糊控制系統。使用扇區有界非線性的概念，一般化的奈魁斯特(圓)穩定性判據可用于分析SISO和MIMO模糊系統的穩定性[62]，并且擴展圓判據可用于推導一類簡單模糊PI控制系統穩定性的充分條件[63]。由于圓判據要求比較嚴格，Furutani提出一種移動的波波夫判據，用于分析模糊控制系統的穩定性。當此判據中參數θ設為零時，該判據與圓判據一致[64]。

　　4.7　其它方法

　　魯棒控制技術(如向量穩定化、H∞控制理論和線性矩陣不等式)被用于推導帶有不確定性的TS模糊控制系統[46]。另外，一般化能量概念[65]、胞胞映射概念[66]、幾何狀態空間方法[67]、Hurwitz穩定性條件方法[68]、絕對穩定判據方法[69]、基于Kudrewicz理論方法[70]及擴展Haddad方法[71]等，都已被用于分析模糊控制系統的穩定性。

　　從模糊控制系統穩定性分析的結果可知，最一般的方法是李亞普諾夫方法，但比較保守，圓判據則更保守。對于其它一些典型的模糊控制系統穩定性分析方法，要求對象模型確定且應滿足一些連續性限制。如描述函數分析極限環，本質上要求一個線性時不變對象或者具有某一特定數學形式的對象，使得非線性在循環中有界于一個非線性元件。

　　5　結論和展望

　　通過對模糊控制器結構的解析分析，可以揭示模糊控制器的本質和工作機理，建立模糊控制器與經典控制器之間的關系，而穩定性分析結果可用于指導模糊控制系統的分析和設計。雖然目前已得到許多解析結果，但與經典控制理論相比，解析模糊控制理論顯得仍不成熟。許多經典控制理論和概念有待于進一步推廣到模糊控制系統的分析和設計：

　　1)在解析結構分析方面，TS模糊控制器的結構分析需推廣到更一般的情況及MIMO控制器;一般Mamdani和TS模糊控制器的極限結構理論需進一步討論;同時，復雜系統模糊控制的解析理論有待進一步深入。如：分層遞階模糊控制系統可解決多變量模糊控制器的維數災問題，且已被證明是萬能控制器[72]，因此，有必要對這類控制器的結構進行解析分析。

　　2)模糊控制穩定性分析結果尚較缺乏。目前的方法多少都受到一些限制，更一般化的穩定性判據，尤其是基于模糊控制器解析結構的易理解且具廣泛應用性的方法應加以研究。

　　3)其它如模糊控制系統的魯棒性、能觀性和能控性等同樣有待于深入研究和進一步發展。

　　4)需開發基于解析理論的模糊系統計算機輔助設計軟件。鑒于目前許多模糊系統開發軟件都缺乏解析能力，我們正在研制一種能用于解析分析、設計和開發模糊系統的軟件包。

　　總之，成熟且豐富的經典控制理論與模糊控制相結合，將有助于更好地分析和設計模糊控制系統，從而奠定模糊控制理論基礎，并使21世紀這一人類智能的核心技術更具生命力。